A háromszög hasonlóságának jelei

Két háromszög hasonlóságának jelei olyan geometriai jellemzők, amelyek lehetővé teszik annak megállapítását, hogy két bizonyos háromszög egymáshoz hasonló, anélkül, hogy figyelembe vesszük az összes elemet.

Tétel 1

A két háromszög hasonlóságának első jele

Háromszög hasonló, ha legalább két szög egy bizonyos háromszög egyenlő két szöge egy másik háromszög.

bizonyíték

Ha két háromszög van megadva: ABC és A1B1C1, ahol ∠A = ∠A1 és ∠B = ∠B1. Ekkor kiderül, hogy ∠C és ∠C1 is egyenlőek. Bizonyítsuk be a △ ABC és △ A1B1C1 hasonlóságát.

Ha a VA oldalán elhalasztunk egy BA2 szegmenst, amelyszegmens egyenlő lesz A1B1, majd rajzoljon egy egyenes vonalat a ponton át A2, amely párhuzamos sorban AC. Ezután ez a vonal levágja a BC szegmenst a ponton, amit C2-nek hívunk. Tehát, háromszögek és A2VS2 A1V1S1 vannak: A2B = A1B1 által építési ∠V1 = ∠V állapotától és ∠A2 = ∠A1 mint ∠A = ∠A1 állapotától és ∠A2 = ∠A, mint a megfelelő szögek. Lemma szerint 1 hasonló háromszögek (egy vonal, amely párhuzamos az egyik oldalon a háromszög és metszi a másik két oldalán, levágja a háromszög, amely hasonló az e), van: △ ABC ~ △ A2BC2, így, △ A1B1C1 ~ △ ABC. Ezért a tétel bizonyított. A 2. és 3. tételt egy hasonló rendszer igazolja.

Tétel 2

A háromszög hasonlóságának második jele.

A háromszögek hasonlónak tekinthetők, ha kettőaz egyik háromszög oldalai arányosak a második háromszög két oldalával. Ezenkívül figyelembe kell venni a felek közötti egyenlőség feltételét is.

Tétel 3

A háromszög hasonlóságának harmadik jele.

A háromszögek akkor tekinthetők hasonlónak, ha az egyik oldal három oldalának arányosságát a második három oldalára figyelik.

Az 1. tétel 1. ütemezése. Ha az ilyen háromszögeket vesszük figyelembe, akkor hasonló oldaluk arányos lesz a hasonló oldalakon elhagyott magasságokkal.

A jobb oldali háromszögek hasonlóságának jelei

1. a téglalap alakú háromszögek hasonlónak tekintendők, ha egyikük katettája és hipotézise arányos a második háromszög lábával és hipoténuszával;
2. a téglalap alakú háromszögek hasonlónak tekintendők, ha egyikük akut szöge megegyezik a második háromszög akut szögével.

Példák a háromszögek hasonlóságára

1. példa

Meg kell találni a KP szegmens hosszát, ha ismert,hogy az ABC háromszögben az oldalsó AC hossza tíz, az AB oldalán van egy bizonyos K pont, AK = 2, BK = 3. Egyenes vonalat húzunk a K pontosságú, párhuzamos az AC-vel. A P pont a BC oldali keresztmetszetén fekszik. Ez a helyzet, ha a háromszögek hasonlóságának jeleit használják. Hasonló problémát találunk minden iskolában. Tehát, ha van egy egyenes vonal a háromszögben, az egyik oldallal párhuzamosan húzódik, akkor egy háromszög alakul ki, amely hasonló ehhez. A CBS háromszög hasonló az ABC háromszöghez. Ezt bizonyítva megjegyezzük, hogy az SRS szöge megegyezik a BAC szögével. Tekintettel arra, hogy ezek a megfelelő szögek, amelyek párhuzamos RS és AC és szekant AK-val rendelkeznek. Ezenkívül a B szög egy közös szög, következésképpen a harmadik szög egyenlő, a BPM és a BCA szöge. Így a háromszögek hasonlóságára vonatkozó első kritérium tétele szerint ∠ ABC hasonló a ∠CR-hez. Ebből következik, hogy a KP / AC, az oldalak a ∠B ellen, egyenlő a VK / Va oldal, az oldalak pedig egyenlő ∠P és ∠C ellen. Ezért megtaláljuk a BA szegmenset a BK és AK hozzáadásával. Helyettesítjük az adatokat: KR / 10 = 3/5, azaz KP = 6

2. példa

Adjuk meg az ABC és az A1B1C1 háromszögeket, ∠B = ∠B1. Az ABC háromszögben lévő AB, BC elemek 2,5-szer nagyobbak az A1B1, B1C1 oldalaknál, amelyek az A1B1C1 háromszögben helyezkednek el. Meg kell találni az AC-t és az A1C1-et, feltéve, hogy azok összege 4,2 m. Megoldás. A probléma állapotával a következőket írjuk:

1. ∠B = ∠B1;
2. AB / A1B1 = BC / B1C1 = 2,5 Ezért △ ABC ~ △ A1B1C1. A háromszög hasonlóságának második jelével.
3. AC + A1C1 = 4,2 m. A háromszögek hasonlóságából az AC / A1C1 = 2,5, vagy AC = 2,5xA1C1 eredményt kapjuk. Ha AC = 2,5 x A1C1, majd AC + A1C1 = 2,5 x A1C1 + A1C1 = 4.2, akkor AC = 3 (m), A1C1 = 1,2 (m).

3. példa

Meg kell vizsgálni, hogy a háromszögek hasonlóak-eA1B1C1 és ABC, ha cm, BC = 5 cm, AB = 3, AC = 7 cm, B1C1 = 7,5 cm, A1B1 = 4,5 cm, A1C1 = 10,5 cm- A megoldás. BC / B1C1 = 5 / 7,5 = 1 / 1,5 AB / A1B1 = 3 / 4,5 = 1 / 1,5 AC / A1C1 = 7 / 10,5 = 1 / 1,5

Ezért a harmadik jellel a háromszög hasonló.