Hogyan lehet megoldani a biquadratikus egyenletet?

A biquadratikus egyenlet megoldásának megítélése előtt érdemes megvizsgálni, hogyan néz ki és hogyan különbözik a klasszikus kvadratikus egyenlettől. A tengely egyenlete⁴ + bx² A + c = 0-t biquadratikusnak nevezzükváltozó (negyedik fok algebrai egyenlet). Ahhoz, hogy az egyenlet a négyzet alakra jusson, és a diszkriminanternél oldja meg, szükség van a változó helyettesítésére:

• azaz: x² = t

Aztán megvan a standard egyenlet az űrlapon² + bt + c = 0

A diszkriminanst a D = b képlet segítségével számítjuk ki² - 4ac.

1. Abban az esetben, ha D = 0, akkor az egyenletnek egyetlen gyökere van₁ = -b / 2a, és ebből megkapjuk az x = sqrt (t₁).
2. Ha D> 0, az egyenletnek két gyökere van₁ = (-b + sqrt (D)) / 2a és t₂ = (-b - sqrt (D)) / 2a. Ne feledkezzünk meg a beírt változóról, és kapunk egy véges megoldást x_1,2 = sqrt (t₁) és x_3,4 = sqrt (t₂)

Fontos megjegyzés: ha a t értékek bármelyike_én <0, akkor D = 0 esetén a kezdeti biquadratikus megoldásnak nincs valódi gyökere, és D> 0 esetén legfeljebb egy valós gyökér.

A Vieta tétel használata

Hasznos tudni: abban az esetben, ha van a csökkentett kvadratikus egyenlet (koefficiens t² = 1), akkor Viet tétele alkalmazható, és a megoldás keresése minimális műveletekre korlátozódik:

• t₁ + t₂ = -b
• t₁ * t₂ = c

Tekintsünk egy példát:

• x⁴ - 3x² + 2 = 0

az x változó változásával² = t, akkor a kvadratikus egyenletet a t formává tesszük² - 3t; + 2 = 0.

• D = (-3)² - 4 * 1 * 2 = 1.

A kvadratikus egyenlet gyökerei t₁ = 2, t₂ = 1.

Figyelembe véve a változó változó változását, megkapjuk a szükséges biquadratikus egyenlet megoldását: t₁ = sqrt (2); t₂ = -sqrt (2); t₃ = 1; t₄ = -1.

Erre a feladatra Viet tételét alkalmazhatjuk, mivel a legmagasabb fokozatú változó együtthatója 1:

• t₁ + t₂ = 3
• t₁ * t₂ = 2

Ezért t₁ = 2, t₂ = 1. Amint látjuk, a négyzetes egyenlet gyökerei mindkét esetben egybeesnek, és így a biquadratikus egyenlet megoldása ugyanaz lesz.

Ebben a tanulmányban egy olyan kétkomponensű egyenlet megoldásának speciális eseteit tekintettük meg, amelyet nem lehet bonyolultabb megoldani, mint a klasszikus kvadratikus egyenlet.